![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif?v=92.1){kind=small}
geeky Однажды в воскресенье начальник тюрьмы вызвал преступника, приговорённого к казни, и сообщил ему:
* Вас казнят на следующей неделе в полдень.
* День казни станет для вас сюрпризом, вы узнаете о нем только когда палач в полдень войдет к вам в камеру.
Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.
Заключённый подумал над его словами и улыбнулся: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом. А по словам начальника я не буду знать день своей казни. Следовательно последний возможный день моей казни — суббота. Но если меня не казнят в пятницу, то я буду заранее знать что меня казнят в субботу, значит и ее можно исключить.» Последовательно исключив пятницу, четверг, среду, вторник и понедельник преступник пришел к выводу, что начальник не сможет его казнить, выполнив все свои слова.
На следующей неделе, палач постучал в его дверь в полдень в среду — это было для него полной неожиданностью. Все, что начальник тюрьмы сказал, осуществилось. Где недостаток в рассуждении заключённого?
Одно из решений
Знание мы будем понимать стандартно: «заключённый знает p» <=> «p есть истинное и обоснованное мнение заключённого».
Обозначим s = "приговор будет в точности исполнен", Ks = "заключённый знает, что s"
Заметьте, что шаг: «В воскресенье меня казнить не могут! Ведь тогда уже в полдень субботы я буду знать об этом.» требует истинности Ks. В самом деле, если заключённый не уверен в исполнении приговора, и его не казнили до полудня субботы, то у него нет оснований полагать, что его казнят в воскресенье, а не (например) в следующий понедельник или вечером субботы. Так что строго говоря, доказано только Ks → ¬s. Из истинности знания мы также имеем Ks → s и Ks → (s ∧ ¬s).
Но само по себе это не противоречие; для противоречия нужно ещё, чтобы Ks было истинно. Это и призвано обеспечить условие «Начальник тюрьмы был честнейшим человеком и никогда не врал.» Но мы видим, что оно эту работу не выполняет: ведь заключённый в результате приходит к выводу, что приговор привести в исполнение нельзя, то есть что начальник соврал!
Значит:
1) приговор может быть приведён в исполнение
2) при этом заключённый не знает, что приговор будет приведён в исполнение
March 17 2010, 15:15:20 UTC 2 years ago
March 17 2010, 15:20:28 UTC 2 years ago
March 17 2010, 20:24:44 UTC 2 years ago
March 18 2010, 11:22:41 UTC 2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
March 17 2010, 16:50:01 UTC 2 years ago
Условие "Вас казнят на следующей неделе в полдень" правильнее трактовать как импликативное: "Если вас казнят, то на следующей неделе в полдень".
Аргумент от эпистемологии: Казнят или не казнят - вопрос факта. Соблюдут при этом некоторые ограничительные условия или нет - вопрос правила. Знание фактов и знание правил (законов) - совершенно разные вещи, загонять конъюнкцию фактов и законов под один оператор К - это уловка.
В условии задачи не сказано, что узник может знать факты будущего. Он не может знать, что его казнят. Он может знать лишь правило, выражаемое условным суждением.
Итак, обозначим p = "меня казнят". Тогда для обоснования (не-ВС) требуется вовсе не Ks, а K(p→s) ("Если меня казнят, то казнят с соблюдением всех условий, записанных в приговоре").
Если предложенная мною формализация, верна, то получаем очень простое (и главное, оптимистическое!) решение парадокса: приговор НЕ может быть приведен в исполнение и узник знает об этом.
[В третьем параграфе, видимо, опечатка: "Из истинности знания мы также имеем Ks → ¬s"? Наверное, имеем Ks → s?]
March 17 2010, 17:23:45 UTC 2 years ago
Насчёт правила: заменим "меня казнят" на "судья приказал казнить заключённого в воскресенье". Это такое же решение судьи, как сам приговор, так что обойдёмся всё-таки одним оператором :) Пусть логика знания заключённого S5.
Приговор у нас s = p ∧ ¬Kp (судья отдал приказ, но заключённый этого не знает). Пусть, как Вы предлагаете, верно
K(p → (p ∧ ¬Kp))
Но это не влечёт ¬p, как мы видим из следующей модели Крипке: два связанных мира, в одном p истинно, в другом ложно.
March 17 2010, 20:41:41 UTC 2 years ago
Предполагается верность одного из условий приговора - казнь назначена на эту неделю. Откуда следует, что она назначена на воскресенье.
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
March 18 2010, 19:49:05 UTC 2 years ago
(1) K(p → (p ∧ ¬Kp))
или короче:
(2)K(p → ¬Kp)
само по себе не влечет ¬p.
Но по условию задачи, в субботу (мы ведь обсуждаем модель, в которой оператор К индексирован по субботе?) узник уже будет знать: "если меня казнят завтра (р), то я об этом знаю уже сегодня (Кр)" [т.к. других возможных дней для казни больше не осталось]
(3) К(p → Kp)
Из (2) и (3) вытекает ¬p, более того - К¬p.
Разве нет?
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
March 17 2010, 18:45:56 UTC 2 years ago
:-)
March 17 2010, 19:01:58 UTC 2 years ago
March 17 2010, 20:17:56 UTC 2 years ago
1) Это не обосновано (и ложно). Заключенный приходит к выводу, если доживет до полудня субботы. Но ни откуда не следует, что это ему удастся :)
2) заменим "меня казнят" на "судья приказал казнить заключённого в воскресенье".
И то и другое не соответствует условиям приговора, ведь там - "приказал казнить в воскресенье и если это будет для меня сюрпризом". Т.е. начальник не врёт, если даже казнь не состоится.
Если же интерпретировать приговор так, что "казнь состоится в любом случае". То тогда приговор противоречив. И Ваши выводы сомнительны - можно ли исполнять противоречивый приговор?
March 17 2010, 20:44:44 UTC 2 years ago
Как мы помним, заключённый приходит к выводу, что приговор не выполним, сразу после его оглашения :) Тут я просто упрощаю: даже когда остаётся один день, реально противоречия нет.
В формулировке Гарднера: "— Тебя повесят в полдень, — сказал ему судья,— в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни." Обычно такое "но" формализуется просто как "и", я так и делаю: "судья приказал казнить [в воскресенье] и заключённый об этом не знает". Если обозначить p = "судья приказал казнить заключённого в воскресенье", то это и есть p ∧ ¬Kp.
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
2 years ago
March 17 2010, 22:52:18 UTC 2 years ago
противоречивые приговоры (1)
У меня было два поста на тему этого парадокса (оба -- с длинными обсуждениями). Я считаю, что то решение, которое у меня в итоге сформировалось, является в некотором роде "исчерпывающим". Это означает, что меня оно полностью удовлетворяет, я не вижу в нём никаких "дыр", и мне также не известно ни одного соображения, которое я бы не учитывал на данный момент.Попробую коротко изложить своё понимание вопроса.
Прежде всего, надо чётко и ясно разрешить вопрос о "знаниии". Во всех таких случаях мы имеем дело с рассуждением, которое опирается на какие-то "данные" или "разрешённые" факты. Поэтому я предлагаю такое понимание: будем говорить, что рассуждающий "знает X", если он может вывести X по разрешённым правилам из разрешённых фактов.
Допустим, мне сообщили, что 2x+3y=5 (x, y -- какие-то рациональные числа). Больше мне ни на что опираться нельзя. Нет сомнений, что я "знаю", чему равно 4x+6y, но при этом я "не знаю", чему равно x. Допустим, я заявляю, что x=c, где c -- некоторая константа. Мои оппоненты выбирают значение x, отличное от c, выражают через него y по формуле y=(5-2x)/3 и предъявляют мне. В итоге оказывается, что равенство 2x+3y=5 выполнено, а x не равно c. Значит, я был неправ. Если же я скажу, что 4x+6y=10, то опровергнуть это (с соблюдением условия) никто уже не сможет.
Здесь "правила игры" предельно ясны, и анализ заслуживает только случай изначально противоречивой ситуации. Например, мне сказали, что 2x+3y=5, 6x+9y=11. Что я в такой ситуации "знаю"? Я считаю, что я "знаю" абсолютно ВСЁ. Это соответствует общепринятым правилам логики. Условия противоречивы, и я из них легко могу вывести всё, что угодно. например, я скажу, что я "знаю", что x=2010. И опровергнуть меня никто не сможет -- для этого пришлось бы указать такие значения x и y, при которых выполнялись бы оба данных мне условия (и при этом x не равнялось бы 2010), но такая задача невыполнима.
Меня поражало то, сколько "копий" было "поломано" в ходе дискуссий типа того, что раз казнить заключённого нельзя, то он день казни не знает, потому что она не может состояться. Я считаю, что здесь нужно изначально исходить из того, что если какая-то сторона предложила противоречивый набор условий, то она уже "проиграла", и говорить тут вообще не о чем. Без такого очевидного ограничения можно спорить до бесконечности.
Например, пусть приговор донельзя "груб", и в нём есть два пункта: 1) Z будет обязательно казнён, 2) Z ни в коем случае не будет казнён. Ясно, что осуществить эти требования нельзя. Поэтому я считаю, что нелепо в этой ситуации настаивать на том, что Z, конечно же, должен быть казнён, поскольку так велит пункт номер 1.
Теперь вернёмся к самому примеру. Коль скоро понятие "знания" уточнено, далее всё зависит от того, на что заключённому разрешено опираться. Здесь разумно исходить из такого требования, что он в своих рассуждениях может использовать всё, о чём сказано в Приговоре. Ясно, что если условие обязательности казни в пределах недели останется лишь "устным", то опираться вообще не на что, и доказать (то есть "знать") вообще ничего нельзя. Заключённого могут не казнить вовсе, могут казнить через несколько недель. Анализировать такую ситуацию неинтересно. Поэтому будем считать, что такое требование в текст Приговора внесено, и на него разрешено опираться.
Please do not reply to this section!
March 17 2010, 22:53:40 UTC 2 years ago
противоречивые приговоры (2)
Далее, в текст Приговора также вносится условие, что казнь может состояться только при условии, что заключённый не "знает" (в оговорённом выше смысле) дня казни. Для ясности представим себе, что казнь назначена на воскресенье. Тогда заключённый рассуждает, опираясь на текст Приговора, и логически выводит, что в соответствии с ним, казнь может состояться только в этот день (других на неделе не осталось). И тогда, если "палачи" не хотят нарушать свои же правила, то они казнить его в воскресенье не могут.И теперь основное моё замечание: ответ в задаче ("можно" или "нельзя") зависит от одного-единственного обстоятельства. Если в Приговор внесено устное замечание судьи о том, что данные правила будут неукоснительно соблюдаться, то возникает противоречие в условии. (Это будет обосновано чуть ниже.) Тем самым, "карающая" сторона не сможет выполнить собственные условия, поскольку они противоречивы. Казнят они заключённого или нет -- они неизбежно нарушать правила. Отсюда следует, что казнить заключённого по правилам они не смогут. При этом совершенно очевидно, что с нарушением правил они его могут казнить в любое время -- раз уж решились пойти на нарушение. (Если заключённый скажет, что он нечто "знает", то они просто ему ответят, что им на это плевать.)
А теперь второй случай, когда казнить заключённого можно, не нарушая правил. Я сначала его и разберу. Это ситуация, когда замечание судьи о "неукоснительном соблюдении" осталось устным, и оно не вошло в протокол. Тогда заключённый на него не имеет права опираться. И если его придут казнить в субботу, то он не будет "знать" этого дня казни.
Действительно, если он предложит рассуждение, что в воскресенье его по правилам казнить не имеют права, то с ним согласятся. Но если он на этом основании скажет, что остаётся лишь суббота, то ему возразят. Ему скажут, что по правилам его, конечно, ни в какой другой день казнить нельзя, но он не имеет права опираться на утверждение, что казнь будет проводиться по правилам -- коль скоро такое положение не внесено в Приговор! В этом и заключается вся "интрига". Следовательно, казнь в воскресенье чисто логически остаётся возможной (хотя и влекла бы за собой нарушений правил, будучи осуществлена в этот день). И поэтому заключённый не "знает", что его казнят в субботу, в результате чего казнь становится вполне законной. Если логика узнику дороже жизни, то он должен с этим фактом согласиться! :)
Наконец, если пункт о неукоснительном соблюдении правил внесён в Приговор, то все "индуктивные" рассуждения узника становятся совершенно корректными. Он сначала доказывает "лемму", что его не могут казнить в воскресенье с соблюдением правил (что он умел делать и раньше). Далее он переходит к доказательству второй "леммы" -- насчёт субботы. Он говорит, что логических возможностей две (он опирается на положение о том, что позже его казнить не должны -- это явно написано). Возможность казни в воскресенье исключается первой из "лемм", с учётом пункта о неукоснительном соблюдении правил. Тогда он приходит к логическому выводу о том, что казнь состоится в субботу (и тут он опирается снова на то, что она "обязательна" в один из дней недели). Тем самым, день своей субботней казни он "знает", и его с соблюдением правил в этот день казнить не могут. То есть вторая лемма тоже доказана, и так далее.
В итоге он получает, что ни в один из дней недели его казнить с соблюдением правил не могут. Это обосновывает противоречивость Приговора.
March 18 2010, 07:42:50 UTC 2 years ago
Re: противоречивые приговоры (2)
Ему скажут, что по правилам его, конечно, ни в какой другой день казнить нельзя, но он не имеет права опираться на утверждение, что казнь будет проводиться по правиламЗдесь у Вас неточность, узник может опираться на правила (больше ему не на что опираться), он не может опираться на неукоснительность казни. Поскольку неукоснительности казни в правилах нет (в этой интерпретации приговора).
Т.е. здесь вроде 3 основных способа интерпретации приговора:
1) правила казни могут не соблюдаться, тогда узник вообще не может построить никакого "оправдательного" рассуждения, в принципе, его могут казнить когда хотят и как хотят.
2) правила неукоснительны, но нет неукоснительности казни. Т.е. необходимое условие казни (правило) - её назначение на один из 7 дней и отсутствие "знания" узника о назначенности казни на текущий день. Тогда узника могут казнить по правилам и в любой день, кроме воскресенья.
3) казнь неукоснительна - тогда приговор противоречив. И если узника казнят, то адвокат добъется отмены приговора :)
March 19 2010, 16:31:55 UTC 2 years ago
повторение, мать ... :)
Вы обладаете какой-то непостижимой для меня способностью запутывать самые простые вещи! :)> Здесь у Вас неточность, узник может опираться на правила
А разве я исхожу из чего-то другого? Я как раз всегда говорил, что узник опирается на пункты Приговора как на "аксиомы", выводя из них логические следствия. То, что он при этом может вывести -- это его "знание". И если в приговоре есть пункт о неукоснительности, то на него опираться можно. А если нет, то нельзя. То же касается и других пунктов. Скажем, принципиальное значение имеет наличие или отстутствие в тексте Приговора "аксиомы" о том, что правила будут соблюдаться.
Если в Приговоре наличествуют только пункты о неукоснительности казни в один из дней недели, а также о том, что узник не будет казнён при условии, что он "знает" день казни, то такой Приговор пока ещё непротиворечив, и казнь может состояться с соблюдением всех правил. Но если туда добавить пункт о том, что "условия настоящего приговора будут неукоснительно выполняться", то тогда в рассуждениях уже можно будет опираться на это положение, и ответ в задаче будет иной.
Мне кажется, что весь этот "механизм" был уже многократно и исчерпывающе раскрыт, поэтому я не вижу смысла повторяться.
2 years ago
2 years ago
2 years ago
March 18 2010, 09:17:11 UTC 2 years ago
Re: противоречивые приговоры (2)
А я считаю, что знаю (без кавычек!), что хотя бы один из сообщённых фактов ложен.
March 18 2010, 20:00:50 UTC 2 years ago
Re: противоречивые приговоры (2)
>> я "знаю" абсолютно ВСЁ.И тут же можно вывести: я знаю, что я этого не знаю. Более того: я знаю, что я не знаю ничего (прямо по Сократу! :))
Так что правильнее сказать: "Если я знаю, что 2x+3y=5, 6x+9y=11, то я знаю абсолютно все и не знаю абсолютно ничего".
March 19 2010, 15:56:17 UTC 2 years ago
заготовки для высказываний
Помните ли Вы обсуждение в Сети по поводу "зебры"? Это была довольно широкая дискуссия, и она имела место сразу во многих журналах. Там ставился вопрос о том, "знает" ли человек, что на поле есть зебра? Насколько я могу судить, высказываемые мнения там были совершенно разные, и приводились доводы как с той, так и с другой из сторон. Мне кажется, такие дискуссии полезны, но вывод из них я для себя делаю вот какой. Поскольку все понимают реальные особенности рассматриваемых ситуаций (там точно нет ничего "загадочного"), однако это не избавляет от "трений" и взаимного несогласия, то это говорит о том, что используемый нами традиционный терминологический "аппарат" несовершенен. Имеет смысл хорошо осознать, при каких предположениях там всё работает "гладко", и какие терминологические замены надо произвести, чтобы трудностей не возникало.Обычно, когда даётся условие задачи, то предполагается, что оно в каком-то смысле "верное". Но если мы допускаем, что нас могут или обмануть, или мы что-то могли не так расслышать, или могли иметь место опечатки в условии -- я бы здесь вместо категории "знания" использовал что-то другое.
Да, Вы правы, что если мне, например, по телефону продиктуют какое-то условие задачи, где наличествуют два противоречивых условия, то я сразу же заподозрю, что какое-то из них "неправильное". Под этим я понимаю следующее: я исхожу из того, что мне цитируют некий "источнег" (скажем, заслуживающий доверия "задачнег"), и то, что там написано, можно в каком-то смысле принимать за "истину".
Поскольку Вы увязываете вопрос о "знании" с категорией "истины", то она обязательно должна присутствовать в каком-то виде. Например, когда речь идёт об условиях типа 2x+3y=5, то может предполагаться, что некто "задумал" значения для x и y, и далее сообщает какие-то факты. Однако это совершенно не обязательно: вполне могло оказаться так, что никто ничего реально не задумывал. Тогда x и y играют роль уже не "предметных констант", а "предметных переменных", и потому условия типа 2x+3y=5 -- это не высказывания (когда можно говорить об "истинности"), а предикаты. А для них уместна уже совершенно иная "игра". Та, которую описал я, мне кажется, подходит к этой ситуации намного лучше.
Если всё это применить к обсуждаемой задаче, то мне видится следующий недостаток Вашего подхода. То, о чём идёт речь в условии -- это всего лишь некие возможные в будущем события, и поэтому говорить об их "истинности" можно только "условно". Скажем, если заключённый говорит в среду "в воскресенье меня не казнят", то это, строго говоря, не есть высказывание в "логическом" понимании этого термина. Здесь речь идёт всего лишь о логическом рассуждении, итогом которого является установление истинности некой импликации. Типа того, что если пункты 1 и 2 приговора будут выполнены, то в воскресенье казнь состояться не может.
Об истинности даже этой импликации в "абсолютном" смысле говорить нельзя. Опять-таки по причине того, что сами факты ещё не свершились. Если даже взять простейший вид утверждения -- "в воскресенье меня либо казнят, либо нет", то оно представляет собой "тавтологию", а потому становится истинной в любой конкретной ситуации. Но для этого должна наступить сама ситуация. До этих пор высказанное утверждение имеет статус лишь "заготовки для высказывания". Я на этот момент обращал внимание в одном из своих постов, где говорилось про выключатели.
"Мораль" я бы отсюда хотел извлечь такую: если привлекается понятие "истинности", то нужно всегда явно указывать ситуацию, в которой имеет смысл говорить об этой "истинности". Даже если нечто имеет тождественно истинную форму, этого недостаточно для приобретения статуса "высказывания".
March 18 2010, 20:07:13 UTC 2 years ago
Re: противоречивые приговоры (2)
>> он не имеет права опираться на утверждение, что казнь будет проводиться по правилам -- коль скоро такое положение не внесено в Приговор! В этом и заключается вся "интрига"Примерно к этому же выводу пришли Каплан и Монтегю в своей классической статье 1960 г. "A paradox regained": неразрешимое противоречие в условиях возникает только если мы рассматриваем не весь набор знаний узника вообще, но лишь то, что он знает НА ОСНОВАНИИ выслушанного приговора. Если сузить доступные ему знания (засекретить некоторые пункты приговора) или расширить их (например, разрешить подкуп стражников с целью выведывания информации о дне казни), то парадокса не будет.
March 19 2010, 16:08:14 UTC 2 years ago
вынужденные ходы
Спасибо за информацию! По смыслу, это всё действительно близко.Пост, который у меня был на эту тему -- имелся в виду вот этот:
http://falcao.livejournal.com/90060.htm
Такого рода обсуждения я считаю в любом случае полезными. Тут даже дело не в какой-то "научной новизне", а скорее в отработке удачных способов описания. То есть цель тут скорее методическая. Вам наверняка много раз приходилось видеть, как при обсуждении логических парадоксов многие люди начинают применять какой-то совершенно "левый" ход мысли. Для меня наибольший интерес здесь представляют не столько "оригинальные", сколько "вынужденные" мысленные ходы.
Вот, кстати: есть целые "горы" литературы на тему "парадокса лжеца". Но мне при этом ни разу не попадалось ни одной статьи, в которой бы предлагалось удовлетворительное для меня объяснение. Критерием здесь для меня является отстутсвие "надуманных" вещей. Типичный пример -- это тезисы типа того, что "в языке нельзя описывать устройство этого самого языка". Сама идея предельно очевидна, но ограничения такого типа выглядят для меня слишком жёсткими и недостаточно обоснованными. Вам известно какое-нибудь удачное (с Вашей точки зрения) обсуждение "пардокса лжеца", с которым можно ознакомиться в Сети?
2 years ago
March 21 2010, 11:56:53 UTC 2 years ago
Кажется, постигаю вашу логику...
Если приговор противоречив, это вынуждает меня согласиться с (3) "узник не имеет мнения, что приговор будет исполнен". Но это влечет истинность (4) "узник не знает, что приговор будет исполнен". А без (4) не возникает парадокса, т.е. приговор не становится противоречивым, так?
March 21 2010, 12:23:01 UTC 2 years ago
March 21 2010, 17:10:39 UTC 2 years ago
Очень сомнительно 1), ведь то, что приговор противоречив мы как раз получаем построив соответствующую пропозицию :)
Т.е. здесь надо различать формальную сторону дела - формально мы можем построить любую пропозицию из (потенциально) противоречивых оснований. И содержательную сторону дела - если противоречие доказано, то содержательных выводов делать мы не имеем право
March 21 2010, 17:38:46 UTC 2 years ago
2 years ago