You are viewing alexey_rom

Опять об Фитча

Из принципа познаваемости следует существование разумной жизни во всех возможных мирах. Доказательство:

1 будет обозначать тождественную истину

K1 = "кто-то когда-то знает тождественно истинное утверждение". Это истинно в мире α тогда и только тогда, когда его истории есть разумная жизнь.

Kp → K1 ("если в мире кто-то что-то знает, то он знает тождественно истинное утверждение") примем за аксиому.

Рассиотрим такой мир α, где разумной жизни нет. Тогда в нём истинно

1) ¬K1
2) ◊K¬K1 (из 1 по принципу познаваемости)
В каком-то достижимом мире β верно
3) K¬K1 (из 2 по семантике возможных миров) То есть в этом мире есть кто-то, что-то знающий.
4) ¬K1 (из 3 по корректности знания)
5) K1 (из 3 по аксиоме Kp → K1)

Пришли к противоречию. По-моему, это позволяет локализовать проблему вполне чётко: пункт 2 должен говорить, что в мире β мы знаем, что в α нет разумной жизни; а вместо этого получается, что мы знаем, что её нет в β.

Comments

Оригинально! Очень красивый пример получился. Прекрасно видно, что оператор знания должен быть двухместным - надо указывать, в каком мире известно и про какой мир.

P.S. Kp → K1 - это частный случай аксиомы дедуктивной замкнутости знания: (Kp & (p→q)) → Kq
Общая аксиома дедуктивной замкнутости меня в этой ситуации не устраивает по очень простой причине: она не верна :) Если кто-то знает p; а p→q верно, но об этом никто не знает; то заключить Kq нельзя. (Kp & K(p→q)) → Kq тоже не годится, потому что p и p→q могут знать два разных субъекта, не связанных друг с другом.
Но тогда почему кто-то должен знать все логические законы (тождественную истину), если он знает р?
1 тут выступает не как все логические законы. Это какой-то один самый простой из них. Например, "1=1" или "q → q". Можно обойтись и без этого, но ценой введения кванторов по высказываниям.
Тут тонкий вопрос. Знание даже одной тождественно-истиной формулы предполагает знание о ВСЕХ мирах - что в них эта формула истинна. Т.е. знание о модели в целом. А тогда субъект должен знать и все остальные тождественно-истинные формулы.
Тогда не будем задавать "в мире есть разумная жизнь" через K, а просто обозначим как q. Схема аксиом: Kp → q для любой формулы p.

Ну или допустить кванторы по высказываниям и положить q = ∃p Kp, тогда дополнительных аксиом не нужно.
Я вот тут подумал: а где в стандартной эпистемической логике предполагается существование познающего субъекта? Он ведь как бы вынесен за пределы модели и существует извне. Его существование в том или ином конкретном мире даже синтаксически выразить невозможно...
Да, это неудобно.
Это не просто неудобно, это навязывает нам некоторые ограничения внелогической природы. Фактически, субъект в стандартной эпистемической логике есть просто индекс к оператору К. Следовательно, зависимость знания от субъекта можно показать только включением или не включением в область действия К. И автоматически все, что попало в область действия К, зависит от субъекта, с которым оператор К ассоциирован. Поэтому квантифицировать субъектов внутри области действия К невозможно.
Да. Не знаете, кто-нибудь развивал логики, где это не так?
Ну вот Хинтикка пытается в таких целях использовать свою IF-логику: Hintikka J. A second-generation epistemic logic and its general significance // Hintikka J., Socratic Epistemology: Explorations of Knowledge-Seeking by Questioning, Cambridge University Press, 2007
Спасибо. Выглядит в Google Books интересно, но там не весь текст виден. Можете прислать?
Поискал у себя на компьютере, но не нашел, к сожалению :(
==Рассиотрим такой мир α, где разумной жизни нет. Тогда в нём истинно:
1) ¬K1
...
5) K1 (из 3 по аксиоме Kp → K1)==

- Вообще-то говоря из такого противоречия отнюдь не следует, что в рассматриваемом мире α есть разумная жизнь. Ведь для этого нужно было бы доказать выполнение в этом же мире К1. ОДнако, выполнение К1 невозможно, поскольку это точно так же ведёт к противоречию:

1) К1 ( условие наличия разумной жизни в мире α)
2) К1 = ¬K0, где 0 - тождественно ложное утверждение, обратное утверждению 1.
3) ¬K0 (преобразованное условие наличия разумной жизни в мире α)
4) ¬K1 (из 3 по аксиоме K0 → Kp)

:)
И как из ¬K0 и K0 → Kp выводится ¬K1?
Из ложного утверждения по известной аксиоме логически следует всё, что угодно. Поэтому, из К0 следует и К1.
А K0 нет. Есть ¬K0.
Точно, Вы правы. Мой вывод был ошибочен... Так что пока предположение о существовании разумной жизни в каждом мире свести к противоречию мне не удаётся.
А может быть, и не во всех мирах имеют место тождественно-истинные формулы? Звучит странновато, я понимаю. Но если вспомнить Хинтикку, который отстаивал наличие невозможных возможных миров?...
Тогда не во всех мирах Kp → K1, и 5 шаг не проходит.
Это - интересная идея: существует ли мир, в котором можно представить то, что невозможно себе представить? Я предлагаю такой ответ: если в этом мире существовал бы разум, значительно отличный от нашего, то вполне возможно, что этот разум организовывал бы свою работу в соответствие с совершенно отличными от наших представлениями и правилами суждения. Тогда Ваше замечание не было бы бессмысленным: то есть, введя переменную х - "некий разум", можно было бы вместо твердого десигнатора, указывающего на разум, принимающий тождественно-истинную формулу, как абсолютную истину в принципе, указывал бы на переменную х.

Тогда не во всех мирах Kp → K1, и парадокс Фитча (а также его великолепный вариант, предложенный тут Алексом) касается лишь разума типа человеческого. То есть - разума, опирающегося на незыблемость аксиом, использующихся при выводе данных утверждений. И обсуждаемый в ветке тезис должен звучать, как: "Из принципа познаваемости следует существование разумной жизни во всех возможных мирах, в которых существует разумная жизнь, пользующаяся законами классической модальной логики" :)
А в версии с ∃p Kp, на которой вроде бы остановились? Если у нас есть миры, в которых ложно Kq → ∃p Kp, то что у нас остаётся?
Не, ну это уже не просто противоречивые миры были бы, а самопротиворечивые. Такого даже ни одна параконсистентная логика не допустит! ))
Надеюсь :)