alexey_rom (alexey_rom) wrote,
alexey_rom
alexey_rom

Category:
  • Mood:

Подход к решению парадокса познаваемости

Вынесено из комментариев к http://vic-gorbatov.livejournal.com/8026.html и расширено.

Парадокс познаваемости — известный парадокс в логике знания. Его можно сформулировать так: «Если всякую истину в принципе возможно узнать, то все истины уже известны».

Информацию по этому парадоксу можно посмотреть на русском:
ЖЖ Виктора Горбатова: http://vic-gorbatov.livejournal.com/8026.html
Блинов А.К. Парадокс познаваемости и кризис антиреализма // Аналитическая философия. Под ред. Лебедева М.В., Черняка А.З. — М.: РУДН, 2004 — http://www.vuzlib.net/beta3/html/1/22139/22267/ (у меня логические символы на этом сайте показываются неправильно)
На английском:
В Stanford Encyclopedia of Philosophy: http://plato.stanford.edu/entries/fitch-paradox/
Сборник ссылок на статьи по этому парадоксу: http://people.cohums.ohio-state.edu/jones1736/fitch.html

Здесь я его изложу, следуя SEP.

Обозначения:
p, q — высказывания.
K — модальный оператор «известно, что».
□ — модальный оператор «необходимо, что».
◊ — модальный оператор «возможно, что».

Исходные посылки:
Стандартные правила классической логики (КЛ).
Правило знания конъюнкции (ЗК): K(pq) ⊢ KpKq. Знание "p и q" влечёт знание p и знание q.
Правило корректности (К): Kpp. Знание p влечёт истинность p.
Правило универсализации (У): если ⊢ p, то ⊢□p. Все теоремы необходимы.
Двойственность необходимости и возможности (ДНВ): ⊢ □p ↔ ¬◊¬p
Правило познаваемости (П): p ⊢ ◊Kp Если p верно, то его возможно узнать.
Все эти правила должны работать для любых p.

Предположим теперь, что мы не всеведущи, то есть некоторое p истинно, а мы об этом не знаем:
1) p ∧ ¬Kp
2) ◊K(p ∧ ¬Kp) (из 1 по П)
3) Допустим K(p ∧ ¬Kp)
4) KpK¬Kp (из 3 по ЗК)
5) Kp (из 4 по КЛ)
6) K¬Kp (из 5 по КЛ)
7) ¬Kp (из 6 по К)
8) Противоречие (из 5 и 7)
9) ¬K(p ∧ ¬Kp) (от противного из 3-8)
10) □¬K(p ∧ ¬Kp) (из 9 по У)
11) ¬◊K(p ∧ ¬Kp) (из 10 по ДНВ)
12) Противоречие (из 2 и 11)
13) ¬(p ∧ ¬Kp) (от противного из 1-12)

Итак, из принципа познаваемости мы вывели свою всеведущесть. Для логики знания это, конечно, плохо.
Начнём с того, что уточним смысл Kp. Это может быть «какому-то конкретному субъекту известно, что p» или «кому-то известно, что p» (то есть «существует субъект, которому известно, что p»). Для вывода это вроде бы без разницы. Но заметьте интересную вещь, если мы возьмём «кому-то известно»:
1) Кому-то (а именно, Дмитрию Медведеву) известно: «я — Президент РФ».
2) Я — Президент РФ (из 1 по К)
Ясно, что этот вывод недопустим. В чём же дело? В изменении контекста. «Я» — не rigid designator (не знаю принятой русской терминологии) и поэтому подставлять «я — Президент РФ» в К нельзя по законам модальной логики. Нормальный приём в логике для замены местоимений в таких ситуациях -- ввести переменную. Мы получим (для x = Дмитрий Медведев):
1) x известно, что x — Президент РФ.
2) x — Президент РФ (из 1 по К)
Этот вывод уже законный и правильный. Но заметьте, что для него нам понадобилось изменить сигнатуру K. Теперь у него два аргумента: субъект и высказывание.

Возможно ли, что причина парадокса Фитча -- в аналогичной путанице? Мне кажется, что да, и я попробую это аргументировать.

Тезис. Принцип познаваемости приемлем только при условии, что модальность «возможно, что» включает изменение субъекта познания и/или момента времени.
Аргумент. Если какая-то звезда вспыхнула, то узнать об этом мне никак невозможно, пока свет от новой не дойдёт до Земли. Аналогичные примеры можно привести и в меньших масштабах.

Пусть теперь p -- заведомо истинное утверждение, например "1=1". Рассмотрим субъекта, который об этом не знает (например, младенца, не имеющего понятия о числах). Подставим эти данные в шаги вывода и посмотрим, что получится.
1) 1=1 ∧ ¬K(1=1) Верно по посылкам
2) ◊K(1=1 ∧ ¬K(1=1)) (из 1 по П)
Стоп! Да, возможно знать, что 1=1, а x не знает, что 1=1. Но это будет знать не сам младенец, а кто-то другой (или, возможно, он через несколько лет будет знать, что в младенчестве он не знал, что 1=1). Эти K относятся к разным контекстам.

Исходя из этого, можно спросить, что получится, если каждое K пометить информацией, к какому контексту оно относится. Контекст будет фиксировать мир, момент времени и субъекта познания. Будем рассуждать в гибридной логике. Кроме обычных высказываний p,q,... у нас есть номиналы α,β,... каждый из которых истинен ровно в одном контексте. r(α) обозначает контекст, в котором истинно α. α:p -- высказывание, истинное тогда и только тогда, когда p истинно в r(α). В частности,  "в контексте α известно p" обозначается как α:Kp. Переформулируем принципы познаваемости и корректности соответственно:
П': α:(p→◊(β∧K(α:p))) В любом контексте r(α), если истинно p, то существует достижимый из r(α) контекст r(β), в котором известно, что в r(α) истинно p.
К': α:Kp→α:p. То есть в любом контексте действует аксиома корректности.
Посмотрим на парадокс Фитча в этом формализме.
1) α:(p∧¬Kp)
2) α:◊(β∧K(α:(p∧¬Kp))) (из 1 по П' и modus ponens для некоторого β≥α)
3) β:K(α:(p∧¬Kp)) (из 2 потому, что β — номинал)
3,5) β:K(α:p∧α:¬Kp) (из 3 по дистрибутивности α: над ∧)
4) β:K(α:p)∧K(α:¬Kp) (из 3,5 по ЗК)
5) β:K(α:p) (из 4 по КЛ)
6) β:K(α:¬Kp) (из 5 по КЛ)
7) β:(α:¬Kp) (из 6 по К')
8) Противоречия из 5 и 7 нет, потому что K в 5 нельзя "засунуть" под α:
Более того, похоже, что аксиому K' можно усилить до K, и противоречия всё равно не возникнет.
При сравнении с решениями, рассмотренными в SEP, моё подпадает под раздел 4. Но насколько я могу судить, приведённые там возражения к нему не применимы.

Буду рад комментариям. Особенно если кто-нибудь может сказать, почему это неправильно :)

UPD: П' можно упростить до α:(p→◊K(α:p)). Шаг 2 изменяется соответственно, остальное доказательство не меняется (только β на шаге 3 вводится свежее). Следующий вопрос -- можно ли усилить дальше до (α:p)→◊K(α:p) (с моей точки зрения, это существенно более сильное утверждение, чем разумное понимание принципа познаваемости)?
UPD 2: Да, можно. Модель построил, непротиворечивость доказал.
UPD 3: Важное уточнение. K — это не просто «известно, что». Там есть кванторы «существуют субъект x и момент времени t такие, что x в момент t известно, что». По крайней мере в книге Квэнвига по этому парадоксу именно так и у него ясно сказано, что с фиксированными временем и субъектом парадоксов нет.
Tags: логика, математика, модальная логика, парадоксы, философия
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    Comments allowed for friends only

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

  • 26 comments