February 1st, 2009

Карманная теория множеств

Язык: есть предикат "быть классом" и предикат "быть элементом" (\in). Как обычно в теориях с классами, определяем множество как "класс, который является элементом какого-то класса".

Аксиомы (выделено то, что не выполняется в обычных теориях множеств):
A1. Всё, что имеет элементы -- класс.
A2. Аксиома объёмности: классы с одинаковыми элементами равны между собой
A3. Неограниченная аксиома выделения: для любой формулы P с одной свободной переменной {x | P(x)} есть класс.
A4. Есть бесконечное множество (обозначается I). Все бесконечные множества равномощны.
A5. Все собственные классы (те, которые не являются множествами) равномощны между собой; любой класс, равномощный собственному классу -- собственный.

Всё.

Насчёт того, что там можно доказать -- см. http://plato.stanford.edu/entries/settheory-alternative/#PocSetThe