April 24th, 2009

Варианты развития теории множеств

Из комментария falcao :

Кстати, у меня по поводу одного из Ваших комментов возник вопрос, но я не стал писать там, а лучше спрошу здесь. Это касается мысленного эксперимента насчёт истинности континуум-гипотезы. Я неоднократно сталкивался с разными формами обсуждения этого вопроса, и хочу отметить одну вещь, о которой почему-то упоминают сравнительно редко. А именно, вот что: после результатов Коэна о независимости CH, укоренилось мнение, что ситуация здесь вполне аналогична с ситуацией вокруг аксиомы параллельных. Если так смотреть на вещи, то ничего удивительного нет. То есть, грубо говоря, на вопрос, адресованный Богу, об "истинности" аксиомы параллельных, Он мог бы ответить так, что на евклидовой плоскости это утверждение истинно, а на неевклидовой -- нет :)

Однако возможна и другая точка зрения. Континуум так или иначе "задан", и кто-то может верить, что возможен некий "абсолютный" ответ на этот вопрос. А тот факт, что к ZF и даже к ZFC можно добавлять как CH, так и её отрицание, на это можно смотреть просто как на то, что система аксиом Цермело - Френкеля является не самой удачной формализацией внутреннего "устройства" универсума множеств.

Согласен. Тут возможны два подхода -- расширения и изменения.


NBG -- консервативное расширение ZFC и позволяет говорить о собственных классах, что нам часто хочется делать.

Вывод: NBG лучше ZFC.

В аксиоме свёртки для классов NBG есть ограничение, которое носит технический характер и непонятно, как его можно обосновать в терминах NBG (оно вводится для того, чтобы NBG было консервативно над ZFC).

Вывод: MK (теория, получаемая при снятии этого ограничения) лучше NBG.

Или можно добавить к ZFC аксиому Тарского-Гротендика.


С другой стороны, чем аксиома выбора лучше аксиомы детерминированности или аксиомы измеримости? Так исторически сложилось, что мы приняли аксиому выбора, но мне кажется, что легко могло бы сложиться иначе. Тогда мы должны, по-видимому, считать, что в "настоящем" универсуме выполняется одна из них, но какая -- мы не знаем.